冰雪环境下基于反馈线性化与LQR的车辆路径跟踪方法

冰雪环境下基于反馈线性化与lqr的车辆路径跟踪方法
技术领域
1.本发明涉及一种冰雪环境下基于反馈线性化与lqr的车辆路径跟踪方法，属于汽车驾驶控制领域。


背景技术：

2.随着经济的迅速发展，汽车已经普及到每家每户，成为我们日常出行方式中一个重要的组成部分。虽然汽车给我们的生活带来了极大的便利，但是汽车的使用也引发了一系列的问题。我国地域辽阔，环境复杂，南北方的道路环境情况差别巨大。在我国北方很多地区的公路长期受到冰雪天气的危害，一年中有近半年的道路存在积雪，对道路的通行能力以及安全性均会造成严重的影响。冰雪天气会造成路面附着系数下降，道路环境复杂，造成严重的安全隐患。与此同时冰雪天气也会造成车辆轮胎侧向稳定性降低，使车辆在行驶时更容易发生侧滑的现象。所以本发明将关注点放在冰雪环境下无人驾驶技术的研究上。


技术实现要素：

3.本发明所述的冰雪环境下基于反馈线性化与lqr的车辆路径跟踪方法，考虑到冰雪环境下汽车的动力学具有非线性特性，采用反馈线性化的方法将非线性的车辆模型转化为线性的车辆模型，再根据线性二次调节器的方法设计控制器，研究冰雪环境下非线性车辆系统路径跟踪的方法。
4.本发明是采用如下技术方案实现的：
5.冰雪环境下基于反馈线性化与lqr的车辆路径跟踪方法，根据冰雪环境下车辆轮胎力不满足线性关系的问题，建立冰雪环境下仿射形式的非线性车辆系统模型，基于此模型，采用反馈线性化的方法对复杂的非线性车辆系统模型进行线性化处理，得到较简单的线性系统模型和虚拟控制输入；根据得到的简单线性车辆系统模型，使用线性二次型调节器的设计方法设计路径跟踪控制器，保证系统稳定性和目标的最优性，实现无人驾驶车辆路径跟踪；本方法的具体步骤如下：
6.步骤一、建立仿射形式的非线性车辆系统模型
7.假定车辆是一个刚性体，其中车辆装置着四个不会发生形变的车轮，并以车辆的前轮作为转向轮，根据车辆运动的几何关系以及车辆的运动学方程得到车辆运动学模型，如式(1)所示：
[0008][0009]
其中ψ为车辆横摆角，单位：rad；vo为车辆质心o处的速度，单位：m/s；β为车辆质心侧偏角，单位：rad；xo为车辆质心o的纵向位移，单位：m；yo为车辆质心o的横向位移，单位：m；
[0010]
考虑到车辆在运行过程中主要是纵向行驶，因此v
x
＞＞vy，所以车辆行驶的速度v
近似用纵向速度v
x
表示，同时，车辆的横摆角ψ和质心侧偏角β都较小，因此采用如下近似关系：
[0011][0012]
将式(2)代入到式(1)中进行简化处理，得到简化的车辆运动学模型：
[0013][0014]
对于车辆的动力学模型，以车辆质心o为坐标原点，以沿着车身向前的方向为x轴的正方向，垂直于横轴向上的方向为y轴的正方向，通过质心指向上方的方向为z轴的正方向，忽略车辆的纵向动力学，只考虑车辆的横摆方向动力学和侧向动力学，根据牛顿第二定律与力矩平衡关系推出如式(4)所示的单轨模型数学表达式：
[0015][0016]
其中，f
yf
为车辆的前轮侧向力，单位：n；f
yr
为车辆的后轮侧向力，单位：n；f
xf
为车辆的前轮纵向力，单位：n；f
xr
为车辆的后轮纵向力，单位：n；vy为车辆质心处的侧向速度，单位：m/s；v
x
为车辆质心处的纵向速度，单位：m/s；r为车辆的横摆角速度，单位：rad/s；δ为车辆前轮转角，单位：rad；m为车辆的质量，单位：kg；iz为车辆绕z轴的转动惯量，单位：kg
·
m2；a为车辆质心o到车辆前轴的距离，单位：m；b为车辆质心o到车辆后轴的距离，单位：m；
[0017]
本方法的控制变量为车辆的前轮转角，考虑车辆的侧向动力学特性，所以假设车辆的纵向速度不变，则式(4)可以写成：
[0018][0019]
行驶稳定的车辆，其前轮转角δ很小，所以采用如下近似关系：
[0020][0021]
将式(6)代入到式(5)中得：
[0022][0023]
考虑到冰雪环境下，路面的附着系数低，当车辆行驶在冰雪路面时，轮胎力呈非线性的关系，所以选用如下的轮胎模型来表示轮胎侧向力与轮胎侧偏角的关系：
[0024][0025]
其中，cf表示前轮的侧偏刚度，单位：n
·
rad；cr表示后轮的侧偏刚度，单位：n
·
rad；ka表示前轮的拟合参数；kb表示后轮的拟合参数；αf表示前轮的侧偏角，单位：rad；αr表示后轮的侧偏角，单位：rad；cf的取值在28000～90000的范围内，cr的取值在28000～90000的范围内，ka的取值大于0，kb的取值大于0；
[0026]
为了便于计算，将式(8)写成：
[0027][0028]
根据坐标系的规定，分别描述车辆前轮的轮胎侧偏角与后轮的轮胎侧偏角为：
[0029][0030]
将式(10)代入到式(9)中得：
[0031][0032]
将式(11)代入到式(7)中可得：
[0033][0034][0035]
其中a1＝(aa
f-bar)/(izv
x
)，a3＝(a2af+b2ar)/(izv
x
)，b1＝(af+ar
)/(mv
x
)，b3＝(aa
f-bar)/(mv
x
)-v
x
，p0＝(-aaf)/iz，q0＝(-af)/m，δ1≈δ2＝0；
[0036]
将式(12)和式(13)中的所有vy转换成β得到车辆的动力学模型：
[0037][0038][0039]
其中c1＝(aa
f-bar)/(iz)，c2＝(ab
f-bbr)/(iz)，c3＝(a2af+b2ar)/(izv
x
)，c6＝3(a2bf+b2br)/(izv
x
)，d1＝(af+ar)/(mv
x
)，)，l0＝(-aaf)/iz，l1＝(-3abf)/iz，l2＝(-6a2bf)/(izv
x
)，w0＝(-af)/(mv
x
)，w1＝(-3bf)/(mv
x
)，δ3≈δ4＝0；
[0040]
结合式(3)、式(14)和式(15)，整理得到符合以下仿射形式的非线性车辆系统模型：
[0041][0042]
其中f1(x)＝v
x
(x2+x4)，f2(x)＝x3，，h(x)＝yo，δ为前轮转角，
[0043]
步骤二、采用反馈线性化的方法对车辆系统模型线性化
[0044]
根据单输入单输出反馈线性化的基本原理，为了建立y与δ之间的关系，对式(16)的输出关于时间求导，利用李导数整理得：
[0045]
[0046]
lfh(x)＝v
x
(x2+x4)，lgh(x)＝0
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(18)
[0047]
在x＝0附近lgh(x)＝0，则再次关于时间求导，整理后得到：
[0048][0049][0050][0051]
在x＝0附近lglfh(x)≠0，所以车辆系统的相对阶为2；
[0052]
对式(16)中的仿射形式的非线性车辆系统模型进行状态变换：
[0053]
定义新的状态量z1＝h(x)，所以新的状态方程可以表示为：
[0054][0055]
非线性车辆系统转变为：
[0056][0057]
所以式(16)可以转化为以下形式：
[0058][0059]
其中c＝[10]；
[0060]
由于(a,b)在x的取值范围内是可控的，γ(x)为非奇异矩阵，因此可对步骤一中所提出的仿射形式的非线性车辆系统模型进行反馈线性化；
[0061]
设虚拟控制输入为v，并且求出δ与v的关系：
[0062][0063]
所以，非线性系统可以转换为以下线性系统：
[0064][0065]
其中c＝[1 0]；
[0066]
步骤三、基于反馈线性化与lqr设计路径跟踪控制器
[0067]
对于线性化后的车辆模型，利用线性二次型调节器的方法设计跟踪控制器，设理想的侧向位移为yd，则理想值与实际值之间的误差为y
d-y＝e，求最优控制输入v，使下列的二次型性能指标最小：
[0068][0069]
其中正定对称矩阵r为控制输入变量v的加权矩阵，半正定矩阵q为状态变量z的加权矩阵，t0为控制时间的起点，tf为控制时间的终点；
[0070]
当通过反馈线性化后的车辆系统最优控制输入为v＝r-1bt
pe＝-ke，二次型性能指标最小；
[0071]
其中e可以表示为：
[0072][0073]
所以v可以进一步地表示为：
[0074][0075]
最优状态反馈控制增益矩阵为：
[0076]
k＝[k
1 k2]＝r-1bt
p
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(30)
[0077]
其中p是一个正定矩阵满足代数riccati方程：
[0078]
pa+a
t
p+q-pbr-1bt
p＝0
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(31)
[0079]
此时δ与v的关系可以进一步地表示为：
[0080][0081]
将得到的控制量δ关系式输入到车辆系统中，实现无人驾驶车辆的路径跟踪。
[0082]
与现有技术相比，本发明的有益效果为：
[0083]
本发明提供了一种冰雪环境下基于反馈线性化与lqr的车辆路径跟踪方法，因为对非线性动力学模型进行了化简，所以车辆非线性模型可以整理为仿射非线性的形式。因为本方法建立了仿射形式的非线性车辆系统模型，所以能够采用反馈线性化的方法对复杂的非线性车辆系统模型进行线性化处理，得到较简单的线性系统模型和虚拟控制输入；因为本方法使用反馈线性化的方法得到了较简单的线性车辆系统模型，所以控制器的设计过程可以使用线性二次型调节器的设计方法。因为本方法对控制器的设计过程可以使用线性二次型调节器的设计方法，控制器可以保证系统稳定性和目标的最优性，实现无人驾驶车辆路径跟踪。
附图说明
[0084]
图1为本发明提供的冰雪环境下基于反馈线性化与lqr的车辆路径跟踪方法的流程图；
[0085]
图2为本发明提供的车辆运动学模型示意图；
[0086]
图3为本发明提供的单轨模型示意图；
[0087]
图4为本发明提供的冰雪环境下基于反馈线性化与lqr的车辆路径跟踪方法车辆路径跟踪控制框图；
具体实施方式
[0088]
下面对本发明做详细的描述：
[0089]
本发明提供了一种冰雪环境下基于反馈线性化与lqr的车辆路径跟踪方法，具体步骤过程如下：
[0090]
步骤一、建立仿射形式的非线性车辆系统模型
[0091]
描述车辆运行状态的模型按其具体功能可分为运动学模型和动力学模型两类。通过研究表明，在高速行驶时，车辆的动态特性对其自身的运行状态影响更大，在低速行驶时，车辆的运动学特性对其自身的运行状态影响更大；所以，本文同时考虑了车辆的运动学和动力学特性，将无人驾驶汽车的运动视为平面运动。
[0092]
对于车辆的运动学模性，假定车辆是一个刚性体，其中车辆装置着四个不会发生形变的车轮，并以车辆的前轮作为转向轮，根据车辆运动的几何关系以及车辆的运动学方程得到车辆运动学模型，如式(1)所示：
[0093][0094]
其中ψ为车辆横摆角，单位：rad；vo为车辆质心o处的速度，单位：m/s；β为车辆质心侧偏角，单位：rad；xo为车辆质心o的纵向位移，单位：m；yo为车辆质心o的横向位移，单位：m；
[0095]
考虑到车辆在运行过程中主要是纵向行驶，因此v
x
＞＞vy，所以车辆行驶的速度v近似用纵向速度v
x
表示，同时，车辆的横摆角ψ和质心侧偏角β都较小，因此采用如下近似关系：
[0096][0097]
将式(2)代入到式(1)中进行简化处理，得到简化的车辆运动学模型：
[0098][0099]
对于车辆的动力学模型，由于汽车的动力学特性非常复杂，如果精确描述车辆的运行状态，则需要建立高自由度的模型。高自由度的模型虽然可以精确描述车辆的运行状态，但是高自由度模型复杂，使用他们不利于进行控制器设计的研究。本发明选用简单的单轨模型。单轨模型忽略了转向系统的影响，直接使用前轮转角作为输入；它也忽略了悬架的作用，空气动力学的作用等。单轨模型可以用一个等效的前轮与一个等效的后轮来代替前轮与后轮。具体步骤为以车辆质心o为坐标原点，以沿着车身向前的方向为x轴的正方向，垂直于横轴向上的方向为y轴的正方向，通过质心指向上方的方向为z轴的正方向，忽略车辆的纵向动力学，只考虑车辆的横摆方向动力学和侧向动力学，根据牛顿第二定律与力矩平
衡关系推出如式(4)所示的单轨模型数学表达式：
[0100][0101]
其中，f
yf
为车辆的前轮侧向力，单位：n；f
yr
为车辆的后轮侧向力，单位：n；f
xf
为车辆的前轮纵向力，单位：n；f
xr
为车辆的后轮纵向力，单位：n；vy为车辆质心处的侧向速度，单位：m/s；v
x
为车辆质心处的纵向速度，单位：m/s；r为车辆的横摆角速度，单位：rad/s；δ为车辆前轮转角，单位：rad；m为车辆的质量，单位：kg；iz为车辆绕z轴的转动惯量，单位：kg
·
m2；a为车辆质心o到车辆前轴的距离，单位：m；b为车辆质心o到车辆后轴的距离，单位：m；
[0102]
本发明的控制变量为车辆的前轮转角，主要考虑车辆的侧向动力学特性，所以假设车辆的纵向速度不变，则式(4)可以写成：
[0103][0104]
行驶稳定的车辆，其前轮转角δ很小，所以采用如下近似关系：
[0105][0106]
将式(6)代入到式(5)中得：
[0107][0108]
考虑到冰雪环境下，路面的附着系数低，当车辆行驶在冰雪路面时，轮胎力呈非线性的关系，所以选用如下的轮胎模型来表示轮胎侧向力与轮胎侧偏角的关系：
[0109][0110]
其中，cf表示前轮的侧偏刚度，单位：n
·
rad；cr表示后轮的侧偏刚度，单位：n
·
rad；ka表示前轮的拟合参数；kb表示后轮的拟合参数；αf表示前轮的侧偏角，单位：rad；αr表示后轮的侧偏角，单位：rad；cf的取值在28000～90000的范围内，cr的取值在28000～90000的范围内，ka的取值大于0，kb的取值大于0；
[0111]
为了便于计算，将式(8)写成：
[0112][0113]
根据坐标系的规定，分别描述车辆前轮的轮胎侧偏角与后轮的轮胎侧偏角为：
[0114][0115]
将式(10)代入到式(9)中得：
[0116][0117]
将式(11)代入到式(7)中可得：
[0118][0119][0120]
其中a1＝(aa
f-bar)/(izv
x
)，a3＝(a2af+b2ar)/(izv
x
)，b1＝(af+ar)/(mv
x
)，b3＝(aa
f-bar)/(mv
x
)-v
x
，p0＝(-aaf)/iz，q0＝(-af)/m，δ1≈δ2＝0；
[0121]
将式(12)和式(13)中的所有vy转换成β得到车辆的动力学模型：
[0122]
[0123][0124]
其中c1＝(aa
f-bar)/(iz)，c2＝(ab
f-bbr)/(iz)，c3＝(a2af+b2ar)/(izv
x
)，c6＝3(a2bf+b2br)/(izv
x
)，d1＝(af+ar)/(mv
x
)，)，l0＝(-aaf)/iz，l1＝(-3abf)/iz，l2＝(-6a2bf)/(izv
x
)，w0＝(-af)/(mv
x
)，w1＝(-3bf)/(mv
x
)，δ3≈δ4＝0；
[0125]
结合式(3)、式(14)和式(15)，整理得到符合以下仿射形式的非线性车辆系统模型：
[0126][0127]
其中f1(x)＝v
x
(x2+x4)，f2(x)＝x3，，h(x)＝yo，δ为前轮转角，
[0128]
步骤二、采用反馈线性化的方法对车辆系统模型线性化
[0129]
根据单输入单输出反馈线性化的基本原理，为了建立y与δ之间的关系，对式(16)的输出关于时间求导，利用李导数整理得：
[0130][0131]
lfh(x)＝v
x
(x2+x4)，lgh(x)＝0
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(18)
[0132]
在x＝0附近lgh(x)＝0，则再次关于时间求导，整理后得到：
[0133][0134][0135][0136]
在x＝0附近lglfh(x)≠0，所以车辆系统的相对阶为2。
[0137]
对式(16)中的仿射形式的非线性车辆系统模型进行状态变换：
[0138]
定义新的状态量z1＝h(x)，所以新的状态方程可以表示为：
[0139][0140]
非线性车辆系统转变为：
[0141][0142]
所以式(16)可以转化为以下形式：
[0143][0144]
其中c＝[10]；
[0145]
由于(a,b)在x的取值范围内是可控的，γ(x)为非奇异矩阵，因此可对步骤一中所提出的仿射形式的非线性车辆系统模型进行反馈线性化；
[0146]
设虚拟控制输入为v，并且求出δ与v的关系：
[0147][0148]
所以，非线性系统可以转换为以下线性系统：
[0149][0150]
其中c＝[10]；
[0151]
步骤三、基于反馈线性化与lqr设计路径跟踪控制器
[0152]
对于线性化后的车辆模型，利用线性二次型调节器的方法设计跟踪控制器，设理想的侧向位移为yd，则理想值与实际值之间的误差为y
d-y＝e，求最优控制输入v，使下列的二次型性能指标最小：
[0153][0154]
其中正定对称矩阵r为控制输入变量v的加权矩阵，半正定矩阵q为状态变量z的加权矩阵，t0为控制时间的起点，tf为控制时间的终点；
[0155]
当通过反馈线性化后的车辆系统最优控制输入为v＝r-1bt
pe＝-ke，二次型性能指
标最小；
[0156]
其中e可以表示为：
[0157][0158]
所以v可以进一步地表示为：
[0159][0160]
最优状态反馈控制增益矩阵为：
[0161]
k＝[k
1 k2]＝r-1bt
p
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(30)
[0162]
其中p是一个正定矩阵满足代数riccati方程：
[0163]
pa+a
t
p+q-pbr-1bt
p＝0
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(31)
[0164]
此时δ与v的关系可以进一步地表示为：
[0165][0166]
将得到的控制量δ关系式输入到车辆系统中，实现无人驾驶车辆的路径跟踪。

技术特征：
1.冰雪环境下基于反馈线性化与lqr的车辆路径跟踪方法，其特征在于，根据冰雪环境下车辆轮胎力不满足线性关系的问题，建立冰雪环境下仿射形式的非线性车辆系统模型，基于此模型，采用反馈线性化的方法对复杂的非线性车辆系统模型进行线性化处理，得到较简单的线性系统模型和虚拟控制输入；根据得到的简单线性车辆系统模型，使用线性二次型调节器的设计方法设计路径跟踪控制器，保证系统稳定性和目标的最优性，实现无人驾驶车辆路径跟踪；本方法的具体步骤如下：步骤一、建立仿射形式的非线性车辆系统模型假定车辆是一个刚性体，其中车辆装置着四个不会发生形变的车轮，并以车辆的前轮作为转向轮，根据车辆运动的几何关系以及车辆的运动学方程得到车辆运动学模型，如式(1)所示：其中ψ为车辆横摆角，单位：rad；v
o
为车辆质心o处的速度，单位：m/s；β为车辆质心侧偏角，单位：rad；x
o
为车辆质心o的纵向位移，单位：m；y
o
为车辆质心o的横向位移，单位：m；考虑到车辆在运行过程中主要是纵向行驶，因此v
x
＞＞v
y
，所以车辆行驶的速度v近似用纵向速度v
x
表示，同时，车辆的横摆角ψ和质心侧偏角β都较小，因此采用如下近似关系：将式(2)代入到式(1)中进行简化处理，得到简化的车辆运动学模型：对于车辆的动力学模型，以车辆质心o为坐标原点，以沿着车身向前的方向为x轴的正方向，垂直于横轴向上的方向为y轴的正方向，通过质心指向上方的方向为z轴的正方向，忽略车辆的纵向动力学，只考虑车辆的横摆方向动力学和侧向动力学，根据牛顿第二定律与力矩平衡关系推出如式(4)所示的单轨模型数学表达式：其中，f
yf
为车辆的前轮侧向力，单位：n；f
yr
为车辆的后轮侧向力，单位：n；f
xf
为车辆的前轮纵向力，单位：n；f
xr
为车辆的后轮纵向力，单位：n；v
y
为车辆质心处的侧向速度，单位：m/s；v
x
为车辆质心处的纵向速度，单位：m/s；r为车辆的横摆角速度，单位：rad/s；δ为车辆前轮转角，单位：rad；m为车辆的质量，单位：kg；i
z
为车辆绕z轴的转动惯量，单位：kg
·
m2；a
为车辆质心o到车辆前轴的距离，单位：m；b为车辆质心o到车辆后轴的距离，单位：m；本方法的控制变量为车辆的前轮转角，考虑车辆的侧向动力学特性，所以假设车辆的纵向速度不变，则式(4)可以写成：行驶稳定的车辆，其前轮转角δ很小，所以采用如下近似关系：将式(6)代入到式(5)中得：考虑到冰雪环境下，路面的附着系数低，当车辆行驶在冰雪路面时，轮胎力呈非线性的关系，所以选用如下的轮胎模型来表示轮胎侧向力与轮胎侧偏角的关系：其中，c
f
表示前轮的侧偏刚度，单位：n
·
rad；c
r
表示后轮的侧偏刚度，单位：n
·
rad；k
a
表示前轮的拟合参数；k
b
表示后轮的拟合参数；α
f
表示前轮的侧偏角，单位：rad；α
r
表示后轮的侧偏角，单位：rad；c
f
的取值在28000～90000的范围内，c
r
的取值在28000～90000的范围内，k
a
的取值大于0，k
b
的取值大于0；为了便于计算，将式(8)写成：根据坐标系的规定，分别描述车辆前轮的轮胎侧偏角与后轮的轮胎侧偏角为：将式(10)代入到式(9)中得：
aa
f
)/i
z
，l1＝(-3ab
f
)/i
z
，l2＝(-6a2b
f
)/(i
z
v
x
)，w0＝(-a
f
)/(mv
x
)，w1＝(-3b
f
)/(mv
x
)，δ3≈δ4＝0；结合式(3)、式(14)和式(15)，整理得到符合以下仿射形式的非线性车辆系统模型：其中f1(x)＝v
x
(x2+x4)，f2(x)＝x3，，h(x)＝y
o
，δ为前轮转角，步骤二、采用反馈线性化的方法对车辆系统模型线性化根据单输入单输出反馈线性化的基本原理，为了建立y与δ之间的关系，对式(16)的输出关于时间求导，利用李导数整理得：l
f
h(x)＝v
x
(x2+x4)，l
g
h(x)＝0
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(18)在x＝0附近l
g
h(x)＝0，则再次关于时间求导，整理后得到：h(x)＝0，则再次关于时间求导，整理后得到：h(x)＝0，则再次关于时间求导，整理后得到：在x＝0附近l
g
l
f
h(x)≠0，所以车辆系统的相对阶为2；对式(16)中的仿射形式的非线性车辆系统模型进行状态变换：定义新的状态量z1＝h(x)，所以新的状态方程可以表示为：非线性车辆系统转变为：
所以式(16)可以转化为以下形式：其中c＝[1 0]；由于(a,b)在x的取值范围内是可控的，γ(x)为非奇异矩阵，因此可对步骤一中所提出的仿射形式的非线性车辆系统模型进行反馈线性化；设虚拟控制输入为v，并且求出δ与v的关系：所以，非线性系统可以转换为以下线性系统：其中c＝[1 0]；步骤三、基于反馈线性化与lqr设计路径跟踪控制器对于线性化后的车辆模型，利用线性二次型调节器的方法设计跟踪控制器，设理想的侧向位移为y
d
，则理想值与实际值之间的误差为y
d-y＝e，求最优控制输入v，使下列的二次型性能指标最小：其中正定对称矩阵r为控制输入变量v的加权矩阵，半正定矩阵q为状态变量z的加权矩阵，t0为控制时间的起点，t
f
为控制时间的终点；当通过反馈线性化后的车辆系统最优控制输入为v＝r-1
b
t
pe＝-ke，二次型性能指标最小；其中e可以表示为：所以v可以进一步地表示为：
最优状态反馈控制增益矩阵为：k＝[k
1 k2]＝r-1
b
t
p
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(30)其中p是一个正定矩阵满足代数riccati方程：pa+a
t
p+q-pbr-1
b
t
p＝0
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(31)此时δ与v的关系可以进一步地表示为：将得到的控制量δ关系式输入到车辆系统中，实现无人驾驶车辆的路径跟踪。

技术总结
本发明提供了一种冰雪环境下基于反馈线性化与LQR的车辆路径跟踪方法，根据冰雪环境下车辆轮胎力不满足线性关系，建立冰雪环境下仿射形式的非线性车辆系统模型，基于此模型，采用反馈线性化的方法对复杂的非线性车辆系统模型进行线性化处理，得到较简单的线性系统模型和虚拟控制输入；根据得到的简单线性车辆系统模型，使用线性二次型调节器的设计方法设计路径跟踪控制器，保证系统稳定性和目标的最优性，实现无人驾驶车辆路径跟踪。实现无人驾驶车辆路径跟踪。实现无人驾驶车辆路径跟踪。


技术研发人员：郭洪艳 孙义 戴启坤 郭景征 刘俊 赵旭 王菲
受保护的技术使用者：吉林大学
技术研发日：2021.12.22
技术公布日：2022/3/8