一种三体系统周期轨道调相的小推力轨迹快速优化方法

1.本发明涉及一种三体系统周期轨道调相的小推力轨道快速优化方法，尤其适用于三体系统中周期轨道的考虑始末相位约束的小推力调相轨道快速优化，属于航空航天技术领域。


背景技术：

2.拉格朗日点由于其特殊的动力学特性，在近年来受到广泛专注。将三体动力学的固有优势同先进的推进技术相结合能够产生更丰富的任务收益。小推力发动机的大推重比特性使得任务中的推进剂消耗大幅度减少，所以在三体系统中设计小推力轨道应用前景优越。拉格朗日点周期轨道的调相是拉格朗日点编队、特定窗口的流形转移等任务中必不可少的技术，然而，由于拉格朗日点动力学的强非线性，周期轨道的调相存在收敛困难、求解效率低等问题。在已发展的关于三体系统小推力轨道优化先技术[1]（参见[1] zhang c, topputo f, bernelli-zazzera f, et al. low-thrust minimum-fuel optimization in the circular restricted three-body problem[j]. journal of guidance control and dynamics, 2015, 38(8): 1501-1509.）提出基于同伦法的限制性三体系统中小推力转移轨道优化方法，虽然该方法能够解决最小燃料消耗的转移问题，但是求解过程中需要从多组协态变量初值中筛选最优解，所以该方法效率一般。


技术实现要素：

[0003]
为了解决强非线性动力学的三体系统中周期轨道的调相问题，本发明主要目的是提供一种三体系统周期轨道调相的小推力轨道快速优化方法，考虑初始和末端相位约束时的周期轨道调相时长，通过序列凸规划实现三体系统小推力轨道快速优化问题。本发明具有调相效率高、精度高的优点。
[0004]
本发明的目的是通过下述技术方案实现的：本发明公开的一种三体系统周期轨道调相的小推力轨道快速优化方法，建立探测器在三体系统中考虑推力的动力学模型；根据调相轨道约束和动力学特性给出三体系统小推力调相优化问题的具体形式，所述具体形式指考虑始末时刻对应三体系统调相轨道的始末状态等式约束、推力分量等式约束、推力大小不等式约束，且以探测器末端质量最大为性能指标的调相优化问题的具体形式；对建立的三体系统动力学模型进行线性化处理，并对得到的推力等式约束进行松弛处理，即实现三体系统小推力调相优化问题的凸化；通过数值积分和逐次逼近策略快速迭代求解得到三体系统周期轨道最优调相轨道，即实现三体系统小推力轨道快速优化。
[0005]
本发明公开的一种三体系统周期轨道调相的小推力轨道快速优化方法，包括如下步骤：步骤一：建立探测器在三体系统中考虑推力的动力学模型。
[0006]
在三体问题中，记探测器状态为，位置矢量为，速度矢量为，其中上标“t”为转置符号；则三体系统中考虑推力的动力学模型为
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（1）其中，μ为三体系统引力系数，分别为探测器到主天体和次天体的距离，t是探测器推力大小，为三个方向推力大小，为探测器发动力的比冲，为海平面重力加速度。
[0007]
步骤二：根据调相轨道约束和动力学特性给出三体系统小推力调相优化问题的具体形式，所述具体形式指考虑始末时刻对应三体系统调相轨道的始末状态等式约束、推力分量等式约束、推力大小不等式约束，且以探测器末端质量最大为性能指标的调相优化问题的具体形式。
[0008]
调相轨道的始末端状态的探测器状态为：调相轨道的始末端状态的探测器状态为：其中与分别为始末时间；并且初始质量固定，末端质量无约束；探测器的推力分量满足且其中， 是探测器最大推力大小。
[0009]
为了得到燃料最优三体系统小推力调相轨道，故将优化问题的性能指标设定为即探测器末端质量最大，也即最小化燃料消耗；从而得到燃料最优的三体系统调相轨道小推力优化问题，将其记为p1，具体形式为约束方程：式(2)~ (5)。
[0010]
步骤三：对步骤一建立的三体系统动力学模型进行线性化处理，并对步骤二得到
的推力等式约束进行松弛处理，即实现对步骤二得到的三体系统小推力调相优化问题的凸化。
[0011]
采用逐次凸优化方法求解该问题，需将问题p1进行凸化。将动力学方程中的状态项和控制项分离开，写为其中控制向量系数矩阵控制向量为；基于小扰动连续线性化方法对动力学方程进行凸化；记分别为第和第次迭代的解，则线性化后的动力学方程为
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（10）其中
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（11）
除此之外，式(4)的非线性约束是非凸的，因此将式(4)中的等号改为不等号，问题等价，从而该约束转化为凸约束：
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（13）从而，非凸问题p1转化为凸子问题p2；其中，凸动力学模型为式(10)，凸约束为式(2)(3)(5)(13)，即对步骤二得到的三体系统小推力调相优化问题实现凸化。
[0012]
步骤四：通过数值积分和逐次逼近策略快速迭代求解得到三体系统周期轨道最优调相轨道，即实现三体系统小推力轨道快速优化。
[0013]
采用梯形公式对式(10)中的数值积分进行转化，将问题p2转化为凸优化问题形式。然后对凸问题进行连续逼近以便迭代求解得到最优的三体系统小推力调相轨道，直至问题p2的解收敛于p1的解。
[0014]
对于第次迭代，选取第次迭代的解作为状态向量的猜测初值，对应的第次迭代的解对为，检查是否满足收敛条件：
其中，为收敛精度要求；如果不满足式(14)，需要继续迭代求解，如果满足式(14)即得到问题p1的解；得到三体系统周期轨道调相的小推力轨道快速优化问题的解，为最优调相轨道，为对应的最优控制方向；即通过序列凸规划实现三体系统小推力轨道快速优化。
[0015]
还包括步骤五：根据步骤四优化得到的三体系统小推力调相轨道，进行高精度调相轨道转移。
[0016]
有益效果：1、本发明公开的一种三体系统周期轨道调相的小推力轨道快速优化方法，考虑三体系统中周期轨道的始末相位约束、转移时长约束、最大推力约束，能够高精度高效率优化得到燃料最优的调相轨道。
[0017]
2、本发明公开的一种三体系统周期轨道调相的小推力轨道快速优化方法，由于建立的是三体系统中带有推力的动力学模型，所以该发明不仅适用于三体系统中周期轨道的调相轨道优化，还适用于三体系统中长距离转移轨道等优化，适用范围广。
[0018]
3、本发明公开的一种三体系统周期轨道调相的小推力轨道快速优化方法，由于优化初值只需选取为原周期轨道上的点，不需进行大量复杂的初始搜索，所以相较于传统的小推力轨道优化方法初值猜测效率较低的问题有显著改进，因此鲁棒性强。
[0019]
4、本发明公开的一种三体系统周期轨道调相的小推力轨道快速优化方法，通过序列凸规划方法求解凸化后的三体系统非线性小推力调相轨道优化问题，通常只需要秒级运算，相较于同伦法效率显著提高，进而使调相及轨道转移效率高。
[0020]
5、本发明公开的一种三体系统周期轨道调相的小推力轨道快速优化方法，根据本发明优化得到的三体系统小推力调相轨道，能够提高调相轨道转移的精度和效率。
附图说明
[0021]
图 1 为本发明公开的一种三体系统周期轨道调相的小推力轨道快速优化方法流程图；图 2 为本发明公开的一种三体系统周期轨道调相的小推力轨道快速优化方法求解得到的最优小推力转移轨道；图 3 为本发明公开的一种三体系统周期轨道调相的小推力轨道快速优化方法求解得到的最优推力大小变化曲线；图 4 为本发明公开的一种三体系统周期轨道调相的小推力轨道快速优化方法求解得到的最优径向、切向、法向推力分量变化曲线。
具体实施方式
[0022]
为了更好地说明本发明的目的和优点，下面结合具体实施示例对本发明做出详细解释。
[0023]
实施例1：选择地月三体系统中halo轨道上0度和180度两个相位点作为始末位置，
对应的轨道状态如表1所示。探测器初始质量为100kg，发动机最大推力为t
max
＝90mn，比冲为＝3100s。设置调相过程时长为27天，而halo轨道上0度转移至180度本需要约7天，及实施的是滞后调相。
[0024]
表1调相轨道初始、终端状态（归一化）状态x
yzvxvyvz
初始值1.108700.039000.20930末端值1.035300.01850.42020.3735-0.0124如图 1 所示，本实施例公开的一种三体系统周期轨道调相的小推力轨道快速优化方法，如图 1 所示，具体实现步骤如下：步骤一：建立探测器在三体系统中考虑推力的动力学模型。
[0025]
在限制性三体问题中，记探测器状态为 ,位置矢量为，速度矢量为，其中上标“t”为转置符号；则三体系统中考虑推力的动力学模型为
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（15）其中，μ为三体系统引力系数，分别为探测器到主天体和次天体的距离，t是探测器推力大小，为三个方向推力大小，为探测器发动力的比冲，为海平面重力加速度。
[0026]
步骤二：根据调相轨道约束和动力学特性给出三体系统小推力调相优化问题的具体形式，所述具体形式指考虑始末时刻对应三体系统调相轨道的始末状态等式约束、推力分量等式约束、推力大小不等式约束，且以探测器末端质量最大为性能指标的调相优化问题的具体形式。
[0027]
调相轨道的始末端状态的探测器状态为：调相轨道的始末端状态的探测器状态为：其中与分别为始末时间；并且初始质量固定，末端质量无约束；探测
器的推力分量满足且其中，
ꢀꢀ
是探测器最大推力大小。
[0028]
为了得到燃料最优三体体系小推力调相轨道，故将优化问题的性能指标设定为：即探测器末端质量最大，也即最小化燃料消耗。
[0029]
从而得到燃料最优的三体体系调相轨道小推力优化问题，将其记为p1，具体形式为：约束方程：式（16）至（19）。
[0030]
步骤三：对步骤一建立的三体系统动力学模型进行线性化处理，并对步骤二得到的推力等式约束进行松弛处理，即实现对步骤二得到的三体系统小推力调相优化问题的凸化。
[0031]
采用逐次凸优化方法求解该问题，需将问题p1进行凸化。将动力学方程中的状态项和控制项分离开，写成其中控制向量系数矩阵控制向量为。
[0032]
基于小扰动连续线性化方法对动力学方程进行凸化；记, 分别为第和第
次迭代的解，则线性化后的动力学方程为其中其中其中其中其中其中其中其中其中其中其中除此之外，式(18)的非线性约束是非凸的，因此将式(18)中的等号改为不等号，问题等价，从而该约束转化为凸约束：
从而，非凸问题 p1 转化为凸子问题 p2。其中，凸动力学模型为式(24)，凸约束为式(16)(17)(19)(27)。
[0033]
步骤四：通过数值积分和逐次逼近策略快速迭代求解得到三体系统周期轨道最优调相轨道，即实现三体系统小推力轨道快速优化。
[0034]
采用梯形公式对式(24)中的数值积分进行转化，从而将问题 p2 转化为凸优化问题形式。然后对凸问题进行连续逼近以便迭代求解得到最优的三体系统小推力调相轨道，直至其解收敛于 p1 的解。
[0035]
对于第 迭代，选取第次迭代的解作为状态向量的猜测初值，对应的第 次迭代的解对为 ,检查是否满足收敛条件：其中，为收敛精度要求；如果不满足式(28)，需要继续迭代求解，如果满足式(28)即得到问题p1的解。
[0036]
至此，得到三体系统周期轨道调相的小推力轨道快速优化问题的解，为最优调相轨道，为对应的最优控制方向。
[0037]
经过优化，在 8 次迭代后满足收敛条件(28)，得到探测器在转移过程中燃料消耗为337.5kg，探测器能够准确到达末端约束相位处的状态。最优小推力调相轨道如图 2 所示，对应的最优推力幅值变化曲线如图 3 所示，最优推力 x、y、z 方向变化曲线如图 4 所示。
[0038]
还包括步骤五：根据步骤四优化得到的三体系统小推力调相轨道，进行高精度调相轨道转移。
[0039]
以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和优点进行了进一步详细说明。需要理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施示例，用于解释本发明，并不用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

技术特征：
1.一种三体系统周期轨道调相的小推力轨道快速优化方法，其特征在于：包括如下步骤，步骤一：建立探测器在三体系统中考虑推力的动力学模型；步骤二：根据调相轨道约束和动力学特性给出三体系统小推力调相优化问题的具体形式，所述具体形式指考虑始末时刻对应三体系统调相轨道的始末状态等式约束、推力分量等式约束、推力大小不等式约束，且以探测器末端质量最大为性能指标的调相优化问题的具体形式；步骤三：对步骤一建立的三体系统动力学模型进行线性化处理，并对步骤二得到的推力等式约束进行松弛处理，即实现对步骤二得到的三体系统小推力调相优化问题的凸化；步骤四：通过数值积分和逐次逼近策略快速迭代求解得到三体系统周期轨道最优调相轨道，即实现三体系统小推力调相轨道快速优化。2.如权利要求1所述的一种三体系统周期轨道调相的小推力轨道快速优化方法，其特征在于：还包括步骤五，根据步骤四优化得到的三体系统小推力调相轨道，进行高精度调相轨道转移。3.如权利要求1或2所述的一种三体系统周期轨道调相的小推力轨道快速优化方法，其特征在于：步骤一实现方法为，在三体问题中，记探测器状态为,位置矢量为，速度矢量为，其中上标“t”为转置符号；则三体系统中考虑推力的动力学模型为其中，μ为三体系统引力系数，分别为探测器到主天体和次天体的距离，t是探测器推力大小，为三个方向推力大小，为探测器发动力的比冲，为海平面重力加速度。4.如权利要求3所述的一种三体系统周期轨道调相的小推力轨道快速优化方法，其特征在于：步骤二实现方法为，调相轨道的始末端状态的探测器状态为：调相轨道的始末端状态的探测器状态为：其中与分别为始末时间；并且初始质量固定，末端质量无约束；探测器的推力分量满足
且其中， 是探测器最大推力大小；为了得到燃料最优三体系统小推力调相轨道，故将优化问题的性能指标设定为即探测器末端质量最大，也即最小化燃料消耗；从而得到燃料最优的三体系统调相轨道小推力优化问题，将其记为p1，具体形式为约束方程：式(2)~ (5)。5.如权利要求4所述的一种三体系统周期轨道调相的小推力轨道快速优化方法，其特征在于：步骤三实现方法为，采用逐次凸优化方法求解该问题，需将问题p1进行凸化；将动力学方程中的状态项和控制项分离开，写为其中控制向量系数矩阵控制向量为；基于小扰动连续线性化方法对动力学方程进行凸化；记, 分别为第和第次迭代的解，则线性化后的动力学方程为其中
除此之外，式(4)的非线性约束是非凸的，因此将式(4)中的等号改为不等号，问题等价，从而该约束转化为凸约束：从而，非凸问题p1转化为凸子问题p2；其中，凸动力学模型为式(10)，凸约束为式(2)(3)(5)(13)，即对步骤二得到的三体系统小推力调相优化问题实现凸化。6.如权利要求5所述的一种三体系统周期轨道调相的小推力轨道快速优化方法，其特征在于：步骤四实现方法为，
采用梯形公式对式(10)中的数值积分进行转化，将问题p2转化为凸优化问题形式；然后对凸问题进行连续逼近以便迭代求解得到最优的三体系统小推力调相轨道，直至问题p2的解收敛于p1的解；对于第次迭代，选取第次迭代的解作为状态向量的猜测初值，对应的第次迭代的解对为，检查是否满足收敛条件：其中，为收敛精度要求；如果不满足式(14)，需要继续迭代求解，如果满足式(14)即得到问题p1的解；得到三体系统周期轨道调相的小推力轨道快速优化问题的解，为最优调相轨道，为对应的最优控制方向；即通过序列凸规划实现三体系统小推力轨道快速优化。

技术总结
本发明公开的一种三体系统周期轨道调相的小推力轨迹快速优化方法，属于航空航天技术领域。本发明实现方法：建立探测器在三体系统中考虑推力的动力学模型；根据调相轨道约束和动力学特性给出三体系统小推力调相优化问题的具体形式，所述具体形式指考虑始末时刻对应三体系统调相轨道的始末状态等式约束、推力分量等式约束、推力大小不等式约束，且以探测器末端质量最大为性能指标的调相优化问题的具体形式；对建立的三体系统动力学模型进行线性化处理，并对得到的推力等式约束进行松弛处理，即实现三体系统小推力调相优化问题的凸化；通过数值积分和逐次逼近策略快速迭代求解得到三体系统周期轨道最优调相轨道，实现三体系统小推力轨道快速优化。系统小推力轨道快速优化。系统小推力轨道快速优化。


技术研发人员：乔栋 贾飞达 韩宏伟 李翔宇
受保护的技术使用者：北京理工大学
技术研发日：2022.02.10
技术公布日：2022/3/8